Solución analítica y numérica de la ecuación de difusión del calor en una placa rectangular en régimen transitorio
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Date
2025
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Publisher
Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann
Abstract
El objetivo de la presente investigación fue resolver un problema de valor inicial y de frontera, que consiste en hallar la solución de una ecuación de difusión del calor no homogénea en una placa rectangular, sujeto a una condición inicial y a condiciones de frontera de tipo Dirichlet dependientes de la posición y del tiempo. Una de las maneras de resolver el problema propuesto consistió en emplear el enfoque analítico. Para encontrar la solución exacta, se utilizó el método de expansión de funciones propias, donde se representa la solución en una serie de funciones propias del problema homogéneo relacionado resuelto con el método de separación de variables, previa transformación del problema original en uno con condiciones de frontera homogéneas. El método estuvo basado en la propiedad de completitud de las funciones propias provenientes del problema regular de Sturm – Liouville, que establece la posibilidad de representar a cualquier función suave por partes como una serie de funciones propias, en particular como una serie de Fourier, que converge en el sentido de la media cuadrática. Otra alternativa para resolver el problema propuesto consistió en emplear el enfoque numérico. Para encontrar soluciones aproximadas, se utilizó el método de diferencias finitas, donde se discretiza el dominio y se representa a las derivadas de la solución con respecto al espacio y al tiempo de manera aproximada, a partir de la definición de la serie de Taylor. Con el método descrito fue posible construir esquemas computacionales tanto explícitos como implícitos, cuya diferencia radica en la aproximación de la derivada temporal. Mientras que en el método explícito se obtienen las soluciones aproximadas de forma directa, en el método implícito se requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales para cada nivel de tiempo considerando su estructura matricial por bloques para la implementación del método del gradiente conjugado. La presente investigación fue de tipo aplicada, con diseño no experimental y nivel explicativo. Para obtener soluciones aproximadas mediante simulación, se implementaron los algoritmos de los esquemas explícito e implícito utilizando el sistema computacional científico Mathematica, y se realizaron comparaciones con la solución obtenida por el método de expansión de funciones propias. Evaluando el comportamiento del error, se muestra que la convergencia de ambos esquemas numéricos depende de su consistencia y estabilidad.
Description
Keywords
Ecuación de difusión del calor en 2D, Método de expansión de funciones propias